Tugas 4: Penulisan Matematika dengan MathML (FireMath)

Tugas Media dan Teknologi Pembelajaran Matematika

Operasi Bentuk Aljabar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

       Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dapat dilakukan apabila suku-sukunya sejenis. Adapun sifat-sifat yang perlu diperhatikan pada saat melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar sebagai berikut.

Sifat Aljabar
1. Komutatif
     $a+b=b+a$
     contoh:
     $5x+6x=6x+5x=11x$

2. Distributif
    $a(b+c)=ab+ac$
     contoh:
     $3(2x+5y)=(3·2x)+(3·5y)=6x+15y$

    $a(b-c)=ab-ac$
     contoh:
     $5(7x-4y)=(5·7x)-(5·4y)=35x-20y$

3. Asosiatif
    $(a+b)+c=a+(b+c)$
     contoh:
     $(4x+5x)+3x=4x+(5x+3x)$
                 $9x+3x=4x+8x$
                        $12x=12x$

       Dengan menggunakan sifat-sifat tersebut, maka hasil operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana, yaitu dengan mengelompokkan suku-suku sejenis.
contoh:
Hitunglah hasil operasi bentuk aljabar berikut!
a. $3a+4b-6a-b$
b. ${2m}^2-8n^2-6m+6n^2-m^2+4m$

Jawab:
a. $3a+4b-6a-b=3a-6a+4b-b$
                                   = $-3a+3b$

b. ${2m}^2-8n^2-6m+6n^2-m^2+4m=2m^2-m^2-8n^2+6n^2-6m+4m$
                                                                $=m^2-2n^2-2m$

2. Operasi Perkalian Bentuk Aljabar

Bentuk:
1. $k(a+b)=ka+kb$
2. $(a+b)(c+d)=ca+ad+bc+bd$
3. $(ax+b)(a{x}^2+bx+c)=ax(a{x}^2+bx+c)+b(a{x}^2+bx+c)$
                                            $=ax\left(a{x}^2\right)+ax\left(bx\right)+ax\left(c\right)+b\left(a{x}^2\right)+b\left(bx\right)+b\left(c\right)$
                                            $=a^2{x}^3+ab{x}^2+acx+ab{x}^2+b^{2}x+bc$
                                            $=a^2{x}^3+2ab{x}^2+acx+b^{2}x+bc$

3. Operasi Perpangkatan Bentuk Aljabar

Bentuk umum : $a^n=a\times a\times a\times \dots \times a$ (sebanyak n faktor)

Bentuk	Contoh
${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$	${\left(2x+1\right)}^2={\left(2x\right)}^2+2·2x·1+1^2=4x^2+4x+1$
${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$	${\left(3x-2\right)}^2={\left(3x\right)}^2-2·3x·2+2^2=9x^2-12x+4$
${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+{3ab}^2+b^3$	$${\left(x+2\right)}^3=x^3+3{·x}^2·2+{3·x·2}^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$$

Perhatikan bentuk pemangkatan yang ditemukan oleh Baise Pascal berikut!

Pemangkatan Suku Dua	Pola Dasar Segitiga Pascal
${\left(a+b\right)}^0$   ${\left(a+b\right)}^1$   ${\left(a+b\right)}^2$   ${\left(a+b\right)}^3$   ${\left(a+b\right)}^4$   ${\left(a+b\right)}^5$	1   1   1   1     2     1   1     3     3     1   1     4     6     4     1   1     5    10   10    5     1

Keterangan:
${\left(a+b\right)}^1=a+b$
${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$
${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+{3ab}^2+b^3$
${\left(a+b\right)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$
${\left(a+b\right)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

4. Operasi Pembagian Bentuk aljabar

       Pada operasi pembagian bentuk aljabar, Anda harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian. Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan.

contoh:
Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut!
a. $8x÷4$
b. $15pq÷3p$
c. $\left(8x^2+2x\right)÷\left(2x^2-2x\right)$

Jawab:
a. $8x÷4=\frac{8x}{2}=2x$
b. $15pq÷3p=\frac{15pq}{3p}=5q$
c. $\left(8x^2+2x\right)÷\left(2x^2-2x\right)=\frac{8x^2+2x}{2x^2-2x}=\frac{2x\left(4x+1\right)}{2x\left(x-1\right)}=\frac{4x+1}{x-1}$